Secondo i trattati di storia della matematica, il moderno calcolo vettoriale sarebbe in sostanza una versione semplicata di alcuni aspetti della teoria dei quaternioni di W. R. Hamiltone dell'algebra astratta di H. Grassmann.

Questa concezione, però, trascura alcuni autori dell'Ottocento che svilupparono dei metodi primitivi di calcolo vettoriale per poter trattare in modo naturale questioni di meccanica e di geometria.

Il caso più notevole è forse quello di Domenico Chelini, professore nelle università di Roma e di Bologna, uno dei pochi matematici italiani della sua epoca conosciuto e apprezzato anche all'estero. Quasi tutta l'opera di Chelini è dedicata allo sviluppo e all'applicazione di una forma particolare di calcolo vettoriale, equivalente in sostanza alla nostra teoria attuale, da lui chiamata teoria delle proiezioni. Nel calcolo di Chelini i prodotti scalare e vettoriale vengono sostituiti rispettivamente dalle proiezioni di segmenti su segmenti e dalla composizione di aree orientate. Poiché vengono usati dei sistemi di assi cartesiani non ortogonali Chelini è costretto a distinguere due tipi di componenti, che oggi vengono dette covarianti e contravarianti.

Grazie al suo calcolo Chelini fu in grado di semplificare molti risultati importanti. Probabilmente l'applicazione più notevole fu quella alla geometria differenziale delle curve sghembe (1845), in cui Chelini fu in grado di esprimere in forma vettoriale le proprietà principali del triedro mobile di una curva molti anni prima che esse diventassero generalmente note.

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